Πειραματισμός

Δραστηριότητα 1η | Δραστηριότητα 2η

Δραστηριότητα 1η: Η καμπύλη του PEANO.

Το 1890 ο Giusepe Peano ανακάλυψε μια καμπύλη η οποία προκύπτει με μια απλή επαναληπτική διαδικασία και έχει την πολύ παράξενη ιδιότητα να γεμίζει ένα τμήμα του επιπέδου.

Στη δραστηριότητα αυτή θα γνωρίσετε με το λογισμικό "MicroWorlds Pro" την επαναληπτική διαδικασία η οποία δημιουργεί την καμπύλη του Peano και θα διαπιστώσετε ότι η καμπύλη αυτή καλύπτει πλήρως ένα τμήμα του επιπέδου.
Όταν θα ανοίξετε το αρχείο που έχουμε δημιουργήσει, θα βρεθείτε στο περιβάλλον που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Διαβάστε προσεκτικά και ακολουθήστε τις οδηγίες επιλέγοντας το κουμπί "Οδηγίες".

Επιλέξτε τη λέξη δραστηριότητα για να αρχίσετε το πρώτο μέρος της δραστηριότητας. Πατήστε εδώ για να κατεβάσετε το αρχείο του MicroWorlds Pro

Η συνέχεια της δραστηριότητας με μολύβι και κανόνα.

- Σχεδιάστε στο φύλλο εργασίας και αναφοράς ένα ευθύγραμμο τμήμα 9 cm και τριχοτομήστε το. Προκύπτουν Ν=3 ίδια μικρότερα ευθύγραμμα τμήματα, το καθένα από τα οποία για να μας δώσει το αρχικό, πρέπει να πολλαπλασιαστεί με έναν παράγοντα κλιμάκωσης Κ=3.

- Για την καμπύλη του Peano (την οποία έχετε ήδη σχεδιάσει στο φύλλο εργασίας και αναφοράς), στο βήμα (0) δημιουργείται ένα μεγάλο ευθύγραμμο τμήμα. Στο βήμα (1) τριχοτομείται το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα και προστίθενται έξι επιπλέον ευθύγραμμα τμήματα που είναι ίσα με το ένα τρίτο του αρχικού ευθύγραμμου τμήματος, σύμφωνα με την επαναληπτική διαδικασία που γνωρίσατε στην δραστηριότητα με το λογισμικό και όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Έτσι προκύπτουν συνολικά Ν=9 μικρότερα ίδια ευθύγραμμα τμήματα. Κάθε ένα από τα τμήματα αυτά πρέπει να πολλαπλασιαστεί με έναν παράγοντα κλιμάκωσης Κ=3 για να δώσει το αρχικό ευθύγραμμο τμήμα του βήματος (0).

Γνωρίζοντας ότι ο παράγοντας κλιμάκωσης (Κ) είναι ο παράγοντας με τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί το κάθε "ίδιο τμήμα" που δημιουργείται σε κάποιο βήμα για να μας δώσει το "μεγαλύτερο τμήμα" του προηγούμενου βήματος, ας προχωρήσουμε σε ένα νέο ορισμό της διάστασης (του σχήματος που προκύπτει στο απειροστό βήμα):

Ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον παράγοντα κλιμάκωσης (Κ) για να μας δώσει τον αριθμό (Ν) των "ίδιων τμημάτων" που προκύπτουν σε κάποιο βήμα λέγεται διάσταση (D) του σχήματος που θα προκύψει στο απειροστό βήμα. Δηλαδή: ΚD=N

- Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία η ευθεία (αλλά και κάθε καμπύλη) έχει διάσταση 1. Ισχύει άραγε το ίδιο σύμφωνα με το νέο ορισμό της διάστασης;

Για να απαντήσετε στο ερώτημα αυτό, συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα στο φύλλο εργασίας και αναφοράς, με βάση τον νέο ορισμό της έννοιας "διάσταση".

| Κ: Παράγοντας κλιμάκωσης | N: Αριθμός ίδιων ευθυγράμμων τμημάτων | D: Διάσταση
Ευθύγραμμο Τμήμα | 3 | 3 | 1
Καμπύλη Peano | 3 | 9 | ;

Δραστηριότητα 2η: Η νησίδα του Mandelbrot

Σ τη διπλανή εικόνα εμφανίζεται η "νησίδα" του Mandelbrot. Το σχήμα αυτό δημιουργείται με την επανάληψη ενός απλού μαθηματικού τύπου και με τη βοήθεια του Ηλεκτρονικού υπολογιστή, αφού επιλεγεί στο πρόγραμμα ο τρόπος χρωματισμού των σημείων. Μεγεθύνοντας σε κάποιο σημείο της εικόνας βλέπουμε τις λεπτομέρειες που αποκαλύπτονται.

Εστιάζοντας στο μικρό βραχάκι στο αριστερό άκρο της νήσου | Μεγέθυνση x 50 στο μικρό "βραχάκι" του αριστερού άκρου της νήσου | Εστιάζοντας στο μικρότερο "βραχάκι" του αριστερού άκρου της προηγούμενης εικόνας | Μεγέθυνση x 5000 στο μικρότερο "βραχάκι"
Mεγέθυνση x 50 μιας περιοχής της ακτής της νήσου | Εστίαση στο πάνω άκρο της νήσου | Μεγέθυνση x 5000 στο πάνω άκρο της νήσου | Μεγέθυνση x 50000 σε κάποιο σημείο της ακτής της νήσου

1. Παρατηρήστε τη λεπτομέρεια που αποκαλύπτεται καθώς μεγεθύνουμε.

2. Παρατηρήστε πόσο ακανόνιστη είναι η ακτή της νήσου

3. Τι παρατηρείτε βλέποντας τη μεγέθυνση στο μικρό "βραχάκι" στο αριστερό άκρο της νήσου ;

4. Τι παρατηρείτε βλέποντας και τις άλλες μεγεθύνσεις;

Πριν απαντήσετε δείτε και το παρακάτω βίντεο.

Εξερεύνηση της νήσου του Mandelbrot με το MicroWorlds Pro

Εδώ θα πειραματιστείτε με το λογισμικό "MicroWorlds Pro", όπου θα ελέγξετε το αποτέλεσμα που προκύπτει από την επαναληπτική διαδικασία που δημιουργεί τη νήσο του Mandelbrot.

Όταν θα ανοίξετε το αρχείο που έχουμε δημιουργήσει, θα βρεθείτε στο περιβάλλον που φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Διαβάστε προσεκτικά και ακολουθήστε τις οδηγίες επιλέγοντας το κουμπί "Οδηγίες"

Επιλέξτε τη λέξη δραστηριότητα για να ξεκινήσετε. Πατήστε εδώ για να κατεβάσετε το αρχείο του MicroWorlds Pro